Как понять, что на сайте лежит актуальный код счётчика?

Откройте страницу с параметром _ym_debug=2 в адресе. Если панель не появилась, а с _ym_debug=1 появляется, на сайте лежит старый код счётчика. Для электронной коммерции справка описывает отдельную проверку: во вкладке Ecommerce должно появиться совершённое действие, а содержимое контейнера смотрят командой JSON.stringify(dataLayer).

Можно ли поставить два счётчика на один сайт?

Да, но Вебвизор нужно включить только на одном из них: если подключить его ко всем, данные записываются некорректно на всех сразу. Проверьте это первым делом, если записи стали странными после появления второго счётчика — например, счётчика агентства.

Нужен ли платный пакет Про, чтобы всё заработало?

Справка говорит прямо: функциональность Яндекс Метрики не зависит от наличия или отсутствия подключённого пакета Про. Про меняет объёмы — отчёты без семплирования, расширенные квоты, потоковую передачу данных. Если данных мало из-за выборки, сначала попробуйте сократить период отчёта.

Счётчик Яндекс Метрики: настройка и проверка сбора данных

Коротко

Счётчик — это две вещи сразу: фрагмент кода на страницах сайта и набор настроек в интерфейсе. Часть настроек меняет сам код, поэтому порядок действий важнее, чем кажется.
Отладочная панель вызывается параметром _ym_debug=2 в адресе страницы (для старого кода счётчика — _ym_debug=1). В справке этот приём описан как способ проверить электронную коммерцию.
Одна опция «Вебвизор, карта скроллинга, аналитика форм» включает заодно карту кликов и карту ссылок. Если счётчиков на сайте несколько, Вебвизор оставляют на одном — иначе записи ломаются на всех.
Пустой отчёт не равен сломанному счётчику: данные по посетителям выдаются только при выборке больше 10 посетителей, а Вебвизор записывает не каждый визит и хранит записи 15 дней.

Счётчик Метрики — это две разные вещи в одной оболочке: фрагмент кода

Счётчик Яндекс Метрики: настройки до кода и проверка после